Update on 2022.7.8

Betty 定理：证明对于无理数 $a,b$，且满足 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，那么数列 ${ \lfloor an\rfloor },{ \lfloor bn\rfloor }$ 为正整数集的划分，其中 $n$ 取正整数。
证明：设集合 $A={ an },B={ bn },n\in \N^{+}$。用反证法，假设存在一个 $k$ 满足 $k\in A,k\in B$ 则有 $k<ax<k+1\Rightarrow \frac{x}{k+1}<\frac{1}{a}<\frac{x}{k}$，同理 $\frac{y}{k+1}<\frac{1}{b}<\frac{y}{k}$。所以我们有：$\frac{x+y}{k+1}<1<\frac{x+y}{k}\Rightarrow k<x+y<k+1$，而 $x,y,k$ 都是整数，矛盾。

假设存在一个整数 $k$ 满足 $k\not\in A,k\not\in B$，则一定存在 $x$ 满足：$\lfloor ax\rfloor <k<\lfloor a(x+1)\rfloor\Rightarrow ax<k<a(x+1)-1$ 对于前半个不等式，可以得到 $\frac{x}{k}<\frac{1}{a}$，对于后面半个可以得到：$\frac{1}{a}<\frac{x+1}{k+1}$，所以我们有 $\frac{x}{k}<\frac{1}{a}<\frac{x+1}{k+1}$，同理我们有：$\frac{y}{k}<\frac{1}{b}<\frac{y+1}{k+1}$，进一步，我们得到：$\frac{x+y}{k}<1<\frac{x+y+2}{k+1}\Rightarrow x+y<k<k+1<x+y+2$，而 $(x+y,x+y+2)$ 这个区间中只可能有一个整数，矛盾。

$\text{Q.E.D}$

Update on 2022.7.19

$$
\sum\limits_i \dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}
$$

证明：由组合意义可知显然。

$$
\binom{p^n}{j}\equiv 0 \bmod p
$$

$j$ 满足 $1\le j\le p^n-1$。

关注下面这个式子：

$$
\frac{(p^n)^{\underline{j}}}{j!}
$$

当 $j=p$ 时，分子会慢一拍，即当 $p=j+1$ 的时候才会有一个 $p^n-p$ 能提出来一个 $p$ 和分母抵消。

由此看出，当 $j=p^{n-1}$ 时，是整个式子 $p$ 最少的时候，只有一个 $p$。

由此可知上式显然成立。