第一种形式：
$$
f(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}i{g(i)}\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n+i} \dbinom nif(i)
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
f(n)&=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}i{g(i)}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom ni\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i+j}\dbinom ijf(j) \
&=\sum\limits_{j=0}^n\sum\limits_{i=j}^n\dbinom ni\dbinom ij(-1)^{i+j}f(j) \
&=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\sum\limits_{i=j}^{n}\dbinom nj\dbinom {n-j}{i-j}(-1)^{i+j} \
&=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\dbinom nj(-1)^{2j}\sum\limits_{i=0}^{n-j}\dbinom{n-j}{i}(-1)^i=f(n)
\end{aligned}
$$
第二种形式：
$$
f(n)=\sum\limits_{i=n}^m\dbinom in g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=n}^m (-1)^{i-n} \dbinom in f(i)
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
f(n)&=\sum\limits_{i=n}^{m} \dbinom in \sum\limits_{j=i}^m (-1)^{j-i}\dbinom ji f(j)\
&=\sum\limits_{j=n}^m \sum\limits_{i=n}^j\dbinom in \dbinom ji(-1)^{j-i}f(j)\
&=\sum\limits_{j=n}^mf(j)\dbinom jn \sum\limits_{i=0}^{j-n}\dbinom {j-n}{i}(-1)^{j-i-n}\
&=\sum\limits_{j=n}^mf(j)\dbinom jn (-1)^{n-j} \sum\limits_{i=0}^{j-n}\dbinom {j-n}{i}(-1)^{-i}=f(n)
\end{aligned}
$$
常用公式
公式 1
- $f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom ni g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom ni f(i)$
证明：这个也是市面上的一种二项式反演。
$$
\begin{aligned}
f(n)&=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom ni \sum\limits_{j=0}^i(-1)^j \dbinom ij f(j)\
&=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\dbinom nj \sum\limits_{i=0}^{n-j}(-1)^{i+2j}\dbinom {n-j}{i}=f(n)
\end{aligned}
$$
公式 2
- $f(S)=\sum\limits_{S\subseteq T}g(T)\Leftrightarrow g(S)=\sum\limits_{S \subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}f(T)$
证明：这个也被称作子集反演。
$$
\begin{aligned}
g(S)&=\sum\limits_{S \subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} f(T)\
&=\sum\limits_{S \subseteq T}(-1)^{|S|-|T|}\sum\limits_{T \subseteq U} g(U)\
&=\sum\limits_{S\subseteq U}g(U)\sum\limits_{T’\subseteq U-S}(-1)^{|T’|}\
&=\sum\limits_{S\subseteq U}g(U)\sum\limits_{k=0}^{|U-S|}(-1)^k\dbinom{|U-S|}{k}\
&=\sum\limits_{S\subseteq U}g(U)[(U-S)=\varnothing]=g(S)
\end{aligned}
$$
类似的，有 $f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T)\Leftrightarrow g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|}f(T)$
公式 3
- $f(n,m)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m \dbinom{n}{i}\dbinom mj g(i,j)\Leftrightarrow g(n,m)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m\dbinom ni \dbinom mj (-1)^{n+m-i-j} f(i,j)$
证明与之前类似，这里不再证明。
值得注意的是，整个二项式反演不管是一元函数，二元函数，还是说我认为也可以推广到多元函数，只有两个变化，第一个是和式到底是从 $0$ 开始还是从 $n,m$ 开始 ，第二个是乘上的 $(-1)$ 的多少次方。不管是从 $0$ 开始还是从 $n,m$ 开始，后上的这个项的系数要么两边都是 $i+j$ ，要么第一个式子没有后面是 $n+m-i-j$，前者开始项的改变只改变二项式系数。
所以我们可以轻易得到其余的三个二元二项式反演。